EJEMPLO (Parte 1): Método Simplex
Resolver mediante el método simplex el siguiente problema:
| Maximizar | Z = f(x,y) = 3x + 2y |
| sujeto a: | 2x + y ≤ 18 |
| 2x + 3y ≤ 42 | |
| 3x + y ≤ 24 | |
| x ≥ 0 , y ≥ 0 |
Se consideran las siguientes fases:
1. Convertir las desigualdades en igualdades
Se introduce una variable de holgura por cada una de las restricciones del tipo ≤, para convertirlas en igualdades, resultando el sistema de ecuaciones lineales:
| 2x + y + r = 18 |
| 2x + 3y + s = 42 |
| 3x +y + t = 24 |
2. Igualar la función objetivo a cero
| - 3x - 2y + Z = 0 |
3. Escribir la tabla inicial simplex
En las columnas aparecerán todas las variables básicas del problema y las variables de holgura/exceso. En las filas se observan, para cada restricción las variables de holgura con sus coeficientes de las igualdades obtenidas, y la última fila con los valores resultantes de sustituir el valor de cada variable en la función objetivo, y de operar tal como se explicó en la teoría para obtener el resto de valores de la fila:
| Tabla I . Iteración nº 1 | |||||||
| 3 | 2 | 0 | 0 | 0 | |||
| Base | Cb | P0 | P1 | P2 | P3 | P4 | P5 |
| P3 | 0 | 18 | 2 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| P4 | 0 | 42 | 2 | 3 | 0 | 1 | 0 |
| P5 | 0 | 24 | 3 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| Z | 0 | -3 | -2 | 0 | 0 | 0 | |
4. Condición de parada
Cuando en la fila Z no existe ningún valor negativo, se ha alcanzado la solución óptima del problema. En tal caso, se ha llegado al final del algoritmo. De no ser así, se ejecutan los siguientes pasos.
5. Condición de entrada y salida de la base
- Primero debemos saber la variable que entra en la base. Para ello escogemos la columna de aquel valor que en la fila Z sea el menor de los negativos. En este caso sería la variable x (P1) de coeficiente - 3.
Si existiesen dos o más coeficientes iguales que cumplan la condición anterior (caso de empate), entonces se optará por aquella variable que sea básica.
La columna de la variable que entra en la base se llama columna pivote (En color verde).
- Una vez obtenida la variable que entra en la base, estamos en condiciones de deducir cual será la variable que sale. Para ello se divide cada término independiente (P0) entre el elemento correspondiente de la columna pivote, siempre que el resultado sea mayor que cero, y se escoge el mínimo de ellos.
En nuestro caso: 18/2 [=9] , 42/2 [=21] y 24/3 [=8]
Si hubiera algún elemento menor o igual a cero no se realiza dicho cociente, y caso de que todos los elementos de la columna pivote fueran de ésta condición tendríamos una solución no acotada y terminaríamos el problema (Ver teoría del método Simplex).
El término de la columna pivote que en la división anterior dé lugar al menor cociente positivo, el 3, ya que 8 es el menor cociente, indica la fila de la variable de holgura que sale de la base, t (P5). Esta fila se llama fila pivote (En color verde).
Si al calcular los cocientes, dos o más son iguales (caso de empate), se escoge aquella que no sea variable básica (si es posible).
- En la intersección de la fila pivote y columna pivote tenemos el elemento pivote, 3.
6. Encontrar los coeficientes de la nueva tabla.
Los nuevos coeficientes de la fila pivote, t (P5), se obtienen dividiendo todos los coeficientes de dicha fila entre el elemento pivote, 3, que es el que hay que convertir en 1.
A continuación mediante la reducción gaussiana hacemos ceros los restantes términos de su columna, con lo que obtenemos los nuevos coeficientes de las otras filas incluyendo los de la función objetivo Z.
También se puede hacer de la siguiente manera:
Fila del pivote: Nueva fila del pivote = (Vieja fila del pivote) / (Pivote) Resto de las filas: Nueva fila = (Vieja fila) -(Coeficiente de la vieja fila en la columna de la variable entrante) x (Nueva fila del pivote) Veámoslo con un ejemplo una vez calculada la fila del pivote (fila de x (P1) en la Tabla II):
|
| Tabla II . Iteración nº 2 | |||||||
| 3 | 2 | 0 | 0 | 0 | |||
| Base | Cb | P0 | P1 | P2 | P3 | P4 | P5 |
| P3 | 0 | 2 | 0 | 1/3 | 1 | 0 | -2/3 |
| P4 | 0 | 26 | 0 | 7/3 | 0 | 1 | -2/3 |
| P1 | 3 | 8 | 1 | 1/3 | 0 | 0 | 1/3 |
| Z | 24 | 0 | -1 | 0 | 0 | 1 | |
Se puede observar que no hemos alcanzado la condición de parada ya que en los elementos de la última fila, Z, hay uno negativo, -1. Hay que repetir el proceso:
- La variable que entra en la base es y (P2), por ser la variable que corresponde a la columna donde se encuentra el coeficiente -1.
- Para calcular la variable que sale, dividimos los términos de la última columna entre los términos correspondientes de la nueva columna pivote: 2 / 1/3 [=6] , 26 / 7/3 [=78/7] y 8 / 1/3 [=24]
y como el menor cociente positivo es 6, tenemos que la variable que sale es r (P3).
- El elemento pivote, que ahora hay que hacer 1, es 1/3.
Operando de forma análoga a la anterior obtenemos la tabla:
| Tabla III . Iteración nº 3 | |||||||
| 3 | 2 | 0 | 0 | 0 | |||
| Base | Cb | P0 | P1 | P2 | P3 | P4 | P5 |
| P2 | 2 | 6 | 0 | 1 | 3 | 0 | -2 |
| P4 | 0 | 12 | 0 | 0 | -7 | 1 | 4 |
| P1 | 3 | 6 | 1 | 0 | -1 | 0 | 1 |
| Z | 30 | 0 | 0 | 3 | 0 | -1 | |
Como en los elementos de la fila Z hay uno negativo, -1, significa que no hemos llegado todavía a la solución óptima. Hay que repetir el proceso:
- La variable que entra en la base es t (P5), por ser la variable que corresponde al coeficiente -1.
- Para calcular la variable que sale, dividimos los términos de la última columna entre los términos correspondientes de la nueva columna pivote: 6/(-2) [=-3] , 12/4 [=3], y 6/1 [=6]
y como el menor cociente positivo es 3, tenemos que la variable que sale es s (P4).
- El elemento pivote, que ahora hay que hacer 1, es 4.
Obtenemos la tabla:
| Tabla IV . Iteración nº 4 | |||||||
| 3 | 2 | 0 | 0 | 0 | |||
| Base | Cb | P0 | P1 | P2 | P3 | P4 | P5 |
| P2 | 2 | 12 | 0 | 1 | -1/2 | 1/2 | 0 |
| P5 | 0 | 3 | 0 | 0 | -7/4 | 1/4 | 1 |
| P1 | 3 | 3 | 1 | 0 | 3/4 | -1/4 | 0 |
| Z | 33 | 0 | 0 | 5/4 | 1/4 | 0 | |
Se observa que en la última fila todos los coeficientes son positivos, por lo tanto se cumple la condición de parada, obteniendo la solución óptima.
La solución óptima viene dada por el valor de Z en la columna de los valores solución, en nuestro caso: 33. En la misma columna se puede observar el punto donde se alcanza, observando las filas correspondientes a las variables de decisión que han entrado en la base: (x,y) = (3,12)