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Optimizando recursos con Programación Lineal



Biografía de George Bernard Dantzig

George Bernard Dantzig Ourisson nació el 8 de Noviembre de 1914 en Portland, en el estado de Oregon de los Estados Unidos de América. Hijo de Tobías Dantzig, matemático ruso, y Anja Ourisson, lingüista francesa especializada en idiomas eslavos, quienes emigraron a EEUU en 1910, después de casarse.

A principios de la década de 1920, la familia Dantzig se trasladó desde Baltimore a Washington en el estado de Maryland, donde Anja trabajó como lingüista en la Biblioteca del Congreso y Tobías impartió clases como profesor de matemáticas en la Universidad de Maryland, hasta que se retiró dejando su puesto de Jefe del Departamento de Matemáticas poco después de la Segunda Guerra Mundial.

Fotografía de George Dantzig con un año de edad Fotografía de los hermanos Dantzig: Henri Poincaré (izquierda) y George Bernard (derecha)

El pequeño George estudió en las escuelas Powell Junior High School y Central High School. Desde su infancia comenzó a mostrar un especial interés por la geometría, instigado también por su propio padre, quien le proponía complicados problemas de geometría proyectiva.

George Dantzig realizó sus estudios universitarios en la Universidad de Maryland donde obtuvo una licenciatura en Matemáticas y Física en 1936. Sin embargo le defraudó el hecho de no haber visto ni una sola aplicación real de las matemáticas en ninguna de las materias que había cursado.

Fotografía de George B. Dantzig estudiando en la Universidad de Michigan

En el verano de ese mismo año se casó con Anne Shmuner, y la pareja de recién casados se mudó a Ann Arbor. Allí continuó sus estudios, gracias a una beca Horace Rackham, con un máster en Matemáticas en la Universidad de Michigan. A excepción de la Estadística, le pareció que los cursos eran demasiado abstractos, por lo que sólo deseaba una cosa: acabar sus estudios y enfocarse en el mundo laboral.

Así, en 1937, Dantzig dejó Michigan para trabajar en un proyecto de estudio de mercado ("Urban study of consumer purchase") como estadístico en el Bureau of Labor Statistics. Sin embargo dos años después decidió completar sus estudios con un Doctorado en Estadística bajo la supervisión del famoso profesor Jerzy Neyman en la Universidad de Berkeley, California.

Fue durante su primer año en Berkeley cuando protagonizó una anécdota que ha sido considerada como una leyenda hasta que años después el propio Dantzig corroboró su veracidad. Así en 1939, George asistía a un curso de Estadística impartido por el profesor Jerzy Neyman, el cual tenía por costumbre proponer un par de ejercicios en la pizarra al inicio de sus clases para que fuesen resueltos como tarea en el hogar. Un día George llegó tarde a clase y anotó los dos problemas de la pizarra pensando que se trataba de tarea para casa. Algunos días después se los entregó al profesor Neyman, disculpándose por haber tardado un poco más de lo habitual ya que les parecieron "un poco más difíciles que los problemas ordinarios". Unas 6 semanas más tarde, cuando Jerzy Neyman revisó aquellas notas concienzudamente y comprendió el gran hallazgo que podía suponer, se presentó en casa de su alumno un domingo a primera hora de la mañana. Estaba impaciente por proponerle a Dantzig la publicación de un artículo fundamentado en la resolución de estos ejercicios ya que se trataba de dos famosos problemas no resueltos de la Estadística. A raíz de este hecho, y a sugerencia de Neyman, George Dantzig desarrolló su tesis doctoral acerca de dichos problemas.

Sin embargo, no acabaría el doctorado hasta 1946 ya que cuando Estados Unidos entró en la contienda de la Segunda Guerra Mundial a finales de 1941, interrumpió sus estudios por segunda vez y se trasladó a Washington para unirse a las Fuerzas Aéreas de Estados Unidos. Allí ocupó un puesto de jefe en la subdivisión civil de análisis de combate en el Centro de Control Estadístico (U.S.A.F. Headquarters Statistical Control). Su labor consistía en la recopilación de datos y análisis de los combates aéreos (número de misiones, bombas lanzadas, aeronaves perdidas, tasas de deserción, .), así cómo lidiar con las logísticas de la cadena de abastecimiento y la gestión de cientos de miles de diferentes tipos de recursos materiales y humanos. Toda esa planificación se llevaba a cabo mediante técnicas manuales, por lo que fueron estos problemas, aparentemente irresolubles, los que estimularon la búsqueda de un modelo matemático y sentaron las bases de lo que sería la programación lineal. Por el trabajo realizado durante la Segunda Guerra Mundial fue galardonado con la medalla al excepcional servicio civil prestado al Departamento de Guerra («War Department's Exceptional Civilian Service Medal») en 1944.

Fotografía de George Bernard Dantzig

Al terminar la guerra, volvió a Berkeley para finalizar el doctorado que había dejado interrumpido. Una vez obtenido el título, le ofrecieron un puesto en la Universidad que rechazó por ser un cargo modesto aunque con un buen salario (14 mil dólares anuales). Realmente fue disuadido de la idea de aceptar la oferta laboral por su mujer a quien no le convencía debido al, en su opinión, escaso sueldo con el que les costaría mantenerse teniendo ya un hijo.

Así pues, en junio de 1946 se encontraba de nuevo en Washington considerando varias ofertas de trabajo. Finalmente, persuadido por sus colegas de la U.S.A.F. se decantó por el cargo de asesor matemático para las Fuerzas Aéreas. Trabajó en una metodología para calcular el tiempo de duración de las etapas de un programa de despliegue, entrenamiento y suministro logístico de forma más rápida y eficiente a la utilizada hasta el momento. Se trataba de intentar mecanizar todo el proceso de planificación. Esto le llevó a realizar sus grandes descubrimientos.

Basándose en el método input-output, ideado por el economista ruso Wassily Leontief en 1939 (por cuyo trabajo recibió el Premio Nobel), estableció el problema general de Programación Lineal. Sin embargo los problemas planteados eran demasiado complejos para las computadoras más veloces de la época. Se hacía necesario desarrollar un método capaz de encontrar soluciones en un tiempo razonable. En este punto entró en juego la intuición geométrica que Dantzig había desarrollado en su juventud. Según sus propias declaraciones: «Comencé observando que la región factible es un cuerpo convexo, es decir, un conjunto poliédrico. Por tanto, el proceso se podría mejorar si se hacían movimientos a lo largo de los bordes desde un vértice al siguiente. Sin embargo, este procedimiento parecía ser demasiado ineficiente. En tres dimensiones, la región se podía visualizar como un diamante con caras, aristas y vértices. En los casos de muchos bordes, el proceso llevaría a todo un recorrido a lo largo de ellos antes de que se pudiese alcanzar el vértice óptimo del diamante». En el verano de 1947 realizó la primera formulación del método Simplex.

El primer problema práctico resuelto con este nuevo método fue el problema de nutrición que había planteado George Joseph Stigler a finales de la década anterior, debido al interés del ejército americano por encontrar una dieta equilibrada para alimentar a sus tropas, que cumpliera con unos requisitos mínimos de nutrición y fuese económica. El problema, que constaba de 9 ecuaciones y 77 incógnitas, fue resuelto manualmente tras 120 días de trabajo. Se demostró que el resultado obtenido apenas difería unos céntimos de la solución hallada anteriormente mediante métodos heurísticos, resultando el nuevo método Simplex todo un éxito.

En esa época, concretamente en junio de 1947, las Fuerzas Aéreas establecieron un grupo de trabajo dedicado a mejorar los procesos de planificación a gran escala que fue llamado Proyecto SCOOP (Scientific Computation of Optimal Programs). George Dantzig permaneció como jefe matemático de este grupo hasta 1952.

El 3 de octubre de 1947 Dantzig visitó el Institute for Advanced Study (IAS), un centro de posgrado independiente ubicado en Princeton (Nueva Jersey) donde se realizan investigaciones en diversos campos científicos. Allí conoció a John von Neumann, considerado el mejor matemático del mundo, quien le habló de su trabajo junto a Oscar Morgenstern sobre la teoría de juegos. A lo largo de 1944, esta pareja había realizado investigaciones sobre juegos de suma cero (juegos en los que todos los participantes conocen a priori las estrategias y consecuencias del resto), que culminaron en el teorema «minimax» que afirma que existe una jugada posible en la que minimizar su máxima pérdida (de ahí su nombre). Como resultado de sus investigaciones publicaron el libro «Theory of Games and Economic Behavior». De esta manera George tuvo constancia por primera vez de la importancia de la Teoría de la Dualidad.

Portada de The Generalized Simplex Method por George B. Dantzig

A principio de la década de los 50, concretamente en junio de 1952, comenzó a trabajar en la RAND Corporation (Research ANd Development), una corporación fundada en 1948 por las Fuerzas Aéreas de Estados Unidos con fines de investigación y desarrollo. Su cometido era la aplicación del método Simplex en las computadoras, con el objetivo de obtener resultados en un tiempo mucho más reducido.

En la imagen se puede observar la portada de uno de los memorándum de investigación que publicó en la RAND. Su referencia es RM-1264 y fue publicado en 1954 bajo el título Notes on Linear Programming: The generalized Simplex method for minimizing a linear form under linear inequality restrains. Se encuentra disponible para su descarga, junto a otros documentos y memorándums en la página oficial de RAND: www.rand.org/pubs/research_memoranda/RM1264.html

En 1954, Dantzig junto con otros dos compañeros matemáticos, Delbert Ray Fulkerson y Selmer Martin Johnson, lograron un hito matemático en optimización combinatoria al resolver el problema del Comercial Viajero, también conocido como problema del Viajante, o por las siglas TSP del inglés Traveling Salesman Problem. Consiste en hallar la ruta óptima para un vendedor que debe visitar un conjunto determinado de ciudades, cumpliendo las siguientes condiciones: la distancia total recorrida debe ser mínima, visitar cada ciudad una única vez y regresar al punto de partida una vez finalizada la ruta. El problema resuelto constaba de 49 ciudades, una por cada estado de EEUU (Alaska y Hawaii no se convirtieron en estados hasta 1959). Se aplicaron las recientes técnicas de Programación Lineal dando lugar al método de los Planos de Corte (Cutting-Plane method), precursor del algoritmo de Ramificación y Acotación (Branch and Bound algorithm). Los resultados de esta investigación se publicaron en el artículo «Solution of a large-scale Traveling Salesman Problem». Este tipo de problemas tiene múltiples aplicaciones más allá de encontrar una ruta mínima en logística, siendo utilizada en la actualidad en áreas como diseño de chips, secuenciación del genoma, observaciones astronómicas de la NASA, etc.

En general, los problemas presentan parámetros con una alta componente aleatoria o falta de fiabilidad en los datos, debido entre otros factores, a que no se puede determinar con exactitud qué ocurrirá en el futuro. Por ejemplo, en un problema de inversión en bolsa, el tiempo afecta a la solución incluyendo la incertidumbre de si los valores en bolsa se mantendrán o sufrirán una nefasta caída. Esto dio lugar a una nueva rama en la Programación Lineal en el año 1955, llamada Programación Estocástica o Programación Bajo Incertidumbre, ampliamente desarrollada de nuevo por George Bernard Dantzig y recogida en su libro «Linear Programming under Uncertainty». Evelyn Martin Lansdowne Beale también llevó a cabo, desde Inglaterra de forma paralela e independiente, investigaciones en esta área.

Sin embargo las investigaciones de George Dantzig no se limitaron únicamente a las citadas sino que también incluyen aplicaciones de variables discretas, problema de la mochila, red y rutas de camino más corto, el método Simplex revisado, y mucho más. Un ejemplo de ello es otro método ampliamente utilizado hoy en día: el principio de descomposición, que desarrolló junto a Philip Wolfe, entre 1959 y 1960. Conocido como el método de Descomposición de Dantzig-Wolfe, establece pautas para encontrar la solución de problemas de gran tamaño, es decir, que implican grandes cantidades de datos y variables. Como curiosidad existe un método dual a éste llamado método de Descomposición de Benders, de gran utilización en la actualidad en Programación Estocástica.

Fotografía del profesor George Bernard Dantzig

George regresó a la Universidad de Berkeley en 1960, donde comenzó una brillante carrera como profesor del departamento de Ingeniería Industrial, tutor y asesor para alumnos de doctorado. Ese mismo año fundó el Centro de Investigación Operativa (Operations Research Center) y se erigió como director del mismo.

Durante este periodo en Berkeley escribió su gran libro de referencia «Linear Programming and Extensions», publicado en agosto de 1963. Esta publicación recoge el trabajo realizado en el Pentágono y en la RAND Corporation describiendo, entre otros, el método Simplex desde su teoría más básica hasta su uso para resolver problemas reales de distinta índole. Es posible descargar este libro en formato PDF desde la página oficial de RAND: www.rand.org/pubs/reports/R366.html.

Alrededor de 1963, Dantzig propuso a la administración de la Universidad de Stanford (Palo Alto) la creación de un programa interdepartamental de Investigación Operativa entre ambas universidades, aunque la propuesta fue rechazada. Tres años después Dantzig comenzaría a trabajar en la Universidad de Stanford como docente en el departamento de Investigación de Operaciones y Ciencias de la Computación. George explica con una anécdota que uno de los motivos de su traslado desde Berkeley a Stanford era una plaza de aparcamiento en la misma puerta del departamento donde trabajaría. Sin embargo tuvo tan mala suerte que al trasladarse todo el aparcamiento ya había desaparecido, incluida su deseada plaza.

Los avances en computación de la década de los 60 permitieron afrontar la resolución de problemas reales en tiempo finito. Motivado por esta razón, Dantzig fundó en 1967 en la Universidad de Stanford el Systems Optimization Laboratory (SOL) para la investigación básica y aplicada de programación matemática a gran escala: desarrollo de algoritmos, formulación de modelos, y producción de software. El trabajo de este laboratorio abarcaba problemas de planificación de inversiones a través del tiempo, diseños de ingeniería y optimización, sistemas físicos, biológicos y ecológicos, planificación urbana, y sistemas de transporte. Entre los proyectos de SOL destaca el proyecto PILOT para una mejor planificación y ahorro en el sector energético de Estados Unidos.

Fotografía de George Bernard Dantzig en el International Institute of Applied Systems Analysis (IIASA)

George Dantzig visitó en varias ocasiones el International Institute of Applied Systems Analysis (IIASA), ubicado en Laxenburg (ciudad a 30 km de Viena, Austria). El IIASA es una organización no gubernamental de investigación donde se llevan a cabo estudios científicos en múltiples áreas como economía, tecnología, ambiental y social. En 1973, pasó un año sabático junto con su esposa Anne, colaborando como jefe del grupo de metodología en las instalaciones del IIASA. Una anécdota protagonizada por George Dantzig expone su interés en la optimización de problemas reales. Durante su estancia allí, un día George se percató de un camión inusualmente largo parado frente a su oficina y, poniendo en duda las ventajas de tal longitud, preguntó al administrador Ruth Steiner acerca del contenido del camión, su procedencia, ruta, y cómo era posible que circulara a través de las estrechas calles. Las respuestas de Ruth fueron que el camión transportaba muebles desde Salzburg, viajando por la autopista, y maniobrando para pasar por calles. George estudió los datos y poco tiempo después comentó a Ruth que la compañía de transporte podría ahorrarse el 40% de los gastos utilizando 4 camiones más pequeños y le sugirió informar de ello a la empresa.

George continuó su labor como profesor en la Universidad de Stanford hasta 1973, año en que obtuvo la cátedra C. A. Criley en Ciencias del Transporte («C. A. Criley Endowed Chair in Transportation Science»). Se retiró oficialmente en 1977 aunque permaneció en activo hasta 1985 como profesor emérito.

La excelente y enorme labor investigadora que desarrolló a lo largo de su vida y los fascinantes resultados, descubrimientos y aportes a la ciencia fueron determinantes para ser merecedor de una gran cantidad de premios y reconocimientos, aunque no llegó a conseguir el Premio Nobel.

Así en 1975, George Bernard Dantzig fue el primer galardonado con el premio John von Neumann Theory Prize otorgado por el Institute for Operations Research and the Management Sciences por su labor continuada y contribución fundamental en estos campos.

Textualmente, «por la invención de la Programación Lineal y el descubrimiento de métodos que condujeron a aplicaciones científicas y técnicas a gran escala de los problemas importantes de logística, planificación y optimización de redes, y por el empleo de ordenadores para hacer un uso eficiente de la teoría matemática descubierta», le fue concedida en 1975 la Medalla Nacional de Ciencias en la disciplina de matemáticas, estadística y computación («National Medal of Science in the Mathematical, Statistical, and Computer Sciences discipline»). Siendo esta la mayor distinción en ciencias de los Estados Unidos, la ceremonia tuvo lugar el 18 de Octubre de 1976 en la Casa Blanca, donde el presidente Gerald Ford, hizo entrega del premio.

Fotografía de Gerald Ford entregando el premio 'National Medal of Science in the Mathematical, Statistical, and Computer Sciences discipline' a George Bernard Dantzig en 1975

George recibió doctorados «honoris causa» en diversas universidades de todo el mundo. Cabe destacar el de su universidad alma mater de Maryland en 1976, con la cita «la Programación Lineal de Dantzig ha sido una de las principales fuerzas impulsoras de la aparición de una nueva disciplina matemática para toma de decisiones llamada Investigación de Operaciones en la década de los 50».

En reconocimiento a su dedicación obtuvo distinciones tanto nacionales como internacionales. Algunas de ellas fueron el Premio de la Academia Nacional de Ciencias en Matemáticas Aplicadas y Análisis Numérico («National Academy of Science Award in Applied Mathematics and Numerical Analysis») en 1977, el Harvey Prize en Ciencia y Tecnología de la Universidad de Technion («Harvey Prize in Science and Technology») de Israel, en 1985, y la Medalla de Plata de la Sociedad Británica de Investigación de Operaciones («Silver Medal of the British Operational Research Society») en 1986. Tuvo el honor de ser la primera persona incluida en el Hall of Fame de la International Federation of Operational Research Societies (IFORS).

El grupo de ex alumnos del profesor Dantzig formado por R. W. Cottle, E. L. Johnson, R. M. van Slyke, y R. J. B. Wets, fundaron en su honor el premio Dantzig Prize en 1982. Dicho premio es concedido cada 3 años por la Mathematical Optimization Society (MOS) y la Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM).

Fotografía de George Bernard Dantzig junto a Mukund N. Thapa

A lo largo de su vida publicó multitud de trabajos y varios libros. Sin embargo el libro «Linear Programming» compuesto por dos volúmenes en los que plasmó las ideas principales de sus estudios e investigaciones, es considerado como la Biblia de la Programación Lineal y la Investigación Operativa. El primero de ellos, con el subtitulo «Introduction», fue publicado en 1997 mientras que el segundo, «Theory and Extensions», no aparecería hasta 2003. Ambos fueron escritos conjuntamente con Mukund N. Thapa. En el primer volumen, tal y como su nombre indica, trata de los aspectos básicos de la Programación Lineal y aplicaciones reales. Por su parte, en el segundo se amplía la teoría, y se incluyen variantes del método Simplex, métodos del punto interior e incluso teoría de juegos, entre otros.

El propio Dantzig se sorprendió de que el método Simplex funcionara con tanta eficiencia, tal y como se puede comprobar en una entrevista de 1999. Citando sus propias palabras: «La mayor parte de las ocasiones el método Simplex resolvía problemas de m ecuaciones en 2m o en 3m pasos, algo realmente impresionante. En realidad nunca pensé que fuese a resultar tan eficiente. Por aquel entonces yo aún tenía poca experiencia con problemas de grandes dimensiones y no confiaba en mi intuición geométrica. Por ejemplo, pensaba que el procedimiento requeriría demasiados pasos de un vértice al siguiente. En la práctica son muy pocos pasos. Dicho con pocas palabras, la intuición en espacios de grandes dimensiones no es muy buena guía. Sólo ahora, 52 años después de haber propuesto el método Simplex por primera vez, la gente está comenzando a tener una idea de por qué el método funciona tan bien como lo hace».

El 13 de Mayo de 2005, George Bernard Dantzig, falleció a la edad de 90 años en su casa de Stanford debido a complicaciones con la diabetes y problemas cardiovasculares.

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Desarrollado por:
Daniel Izquierdo Granja
Juan José Ruiz Ruiz

Traducción a inglés por:
Luciano Miguel Tobaria

Traducción a francés por:
Ester Rute Ruiz