Árboles frutales

Un agricultor tiene una parcela de 640m² para dedicarla al cultivo de árboles frutales: naranjos, perales, manzanos y limoneros. Se pregunta de qué forma debería repartir la superficie de la parcela entre las variedades para conseguir el máximo beneficio sabiendo que:

• cada naranjo necesita un mínimo de 16m², cada peral 4m², cada manzano 8m² y cada limonero 12m².
• dispone de 900 horas de trabajo al año, necesitando cada naranjo 30 horas al año, cada peral 5 horas, cada manzano 10 horas, y cada limonero 20 horas.
• a causa de la sequía, el agricultor tiene restricciones para el riego: le han asignado 200m³ de agua anuales. Las necesidades anuales son de 2m³ por cada naranjo, 1m³ por cada peral, 1m³ por cada manzano, y 2m³ por cada limonero.
• los beneficios unitarios son de 50, 25, 20, y 30 € por cada naranjo, peral, manzano y limonero respectivamente.

Se determinan las variables de decisión y se representan algebraicamente. En este caso:

• X1: número de naranjos
• X2: número de perales
• X3: número de manzanos
• X4: número de limoneros

Se determinan las restricciones y se expresan como ecuaciones o inecuaciones de las variables de decisión. Dichas restricciones se deducen de las necesidades de cada árbol de terreno, horas de trabajo anuales, y necesidades de riego:

• Necesidades de terreno: 16·X1 + 4·X2 + 8·X3 + 12·X4 ≥ 640
• Necesidades de horas anuales: 30·X1 + 5·X2 + 10·X3 + 20·X4 ≥ 900
• Necesidades de riego: 2·X1 + X2 + X3 + 2·X4 ≥ 200

Se expresan todas las condiciones implícitamente establecidas por la naturaleza de las variables: que no puedan ser negativas, que sean enteras, que solo puedan tomar determinados valores, ... En este caso las restricciones son que el número de árboles no puede ser negativo y además debe ser un número entero:

• Xi ≥ 0
• Xi son enteros

Se determina la función objetivo:

• Maximizar Z = 50·X1 + 25·X2 + 20·X3 + 30·X4