EJEMPLO (Parte 2)

Resolver mediante el método gráfico el siguiente problema:

Maximizar	Z = f(x,y) = 3x + 2y
sujeto a:	2x + y ≤ 18
	2x + 3y ≤ 42
	3x + y ≤ 24
	x ≥ 0 , y ≥ 0

 

1. Inicialmente dibujamos el sistema de coordenadas asociando a un eje la variable x, y al otro la y, como se puede ver en la figura.
   
   
2. Marcamos en ellos una escala numérica apropiada de acuerdo con los recorridos de las variables en relación con las restricciones del problema. A continuación dibujamos las restricciones. Comenzando con la primera, dibujamos la recta que se obtiene al considerar la restricción como igualdad. Aparece representada como el segmento que une A con B y la región que delimita ésta restricción viene indicada por el color AMARILLO. Se repite el proceso de la misma forma con la segunda y tercera restricción, y delimitan la región de color AZUL y ROJO respectivamente. La región factible es la intersección de las regiones delimitadas por la terna de restricciones y por las condiciones de no negatividad de las variables, es decir, por la región de valores admisibles limitada por ambos ejes coordenados. La región factible está representada por el polígono convexo O-F-H-G-C, que aparece de color VIOLETA.

    

   

    

3. Ya que la región factible es no vacía (problema factible), procedemos a determinar sus puntos extremos, candidatos a soluciones óptimas, que son los puntos O-F-H-G-C de la figura. Finalmente, evaluamos la función objetivo (3x + 2y) en esos puntos, resultado que se recoge en la tabla siguiente. Como el punto G proporciona el mayor valor al objetivo Z, tal punto constituye la solución óptima, que indicaremos x = 3 y = 12, con valor óptimo Z = 33.

Punto extremo	Coordenadas (x,y)	Valor bjetivo (Z)
O	(0,0)	0
C	(0,14)	28
G	(3,12)	33
H	(6,6)	30
F	(8,0)	24

 

COMPARACION DEL MÉTODO GRÁFICO CON EL MÉTODO SIMPLEX

Las sucesivas tablas que hemos construido durante el método simplex van proporcionando el valor de la función objetivo en los distintos vértices, ajustándose, a la vez, los coeficientes de las variables iniciales y de holgura.

En la primera iteración (Tabla I) han permanecido todos los coeficientes iguales, se ha calculado el valor de la función objetivo en el vértice (0,0) que es el valor que contienen las variables básicas, siendo el resultado 0.

Tabla I . Iteración nº 1
			3	2	0	0	0
Base	Cb	P0	P1	P2	P3	P4	P5
P3	0	18	2	1	1	0	0
P4	0	42	2	3	0	1	0
P5	0	24	3	1	0	0	1
Z		0	-3	-2	0	0	0

A continuación se desplaza por la arista (0,0) F, calculando el valor de la función Z, hasta llegar a F. éste paso se traduce como la segunda iteración en el Método Simplex, aportando la Tabla II, en la que se ha calculado el valor que corresponde al vértice F(8,0): Z = f(8,0) = 24.

Tabla II . Iteración nº 2
			3	2	0	0	0
Base	Cb	P0	P1	P2	P3	P4	P5
P3	0	2	0	1/3	1	0	-2/3
P4	0	26	0	7/3	0	1	-2/3
P1	3	8	1	1/3	0	0	1/3
Z		24	0	-1	0	0	1

Sigue por la arista FH, hasta llegar a H, donde se para y despliega los datos de la Tabla III. En ésta tercera iteración se ha calculado el valor que corresponde al vértice H(6,6): Z = f(6,6) = 30.

Tabla III . Iteración nº 3
			3	2	0	0	0
Base	Cb	P0	P1	P2	P3	P4	P5
P2	2	6	0	1	3	0	-2
P4	0	12	0	0	-7	1	4
P1	3	6	1	0	-1	0	1
Z		30	0	0	3	0	-1

Se Continúa haciendo cálculos a través de la arista HG, hasta llegar al vértice G. Los datos que se reflejan son los de la Tabla IV, concluyendo con la misma y advirtiendo que ha terminado (comprobando antes que la solución no mejora al desplazarse por la arista GC).

Tabla IV . Iteración nº 4
			3	2	0	0	0
Base	Cb	P0	P1	P2	P3	P4	P5
P2	2	12	0	1	-1/2	0	0
P5	0	3	0	0	-7/4	0	1
P1	3	3	1	0	-3/4	0	0
Z		33	0	0	5/4	0	0

El valor máximo de la función objetivo es 33, y corresponde a x = 3 e y = 12 (vértice G). Además, se puede comprobar que el valor de la función en el vértice C (0,14), no supera el valor 33.

 

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